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Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrás:
- Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos
- Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos
- Usar modelos exponenciales en aplicaciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver:\(x^{2}=16\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.46. - Resolver:\(x^{2}−5x+6=0\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.45. - Resolver:\(x(x+6)=2x+5\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.47.
Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos
En la sección de funciones logarítmicas, resolvimos algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos usar para resolver ecuaciones logarítmicas.
Si nuestra ecuación tiene dos logaritmos podemos usar una propiedad que dice que si\(\log _{a} M=\log _{a} N\) entonces es cierto eso\(M=N\). Esta es la propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas.
Definición\(\PageIndex{1}\)
Propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas
Para\(M>0,N>0,a>0\), y\(a≠1\) es cualquier número real:
Si\(\log _{a} M=\log _{a} N,\) entonces\(M=N\).
Para utilizar esta propiedad, debemos estar seguros de que ambos lados de la ecuación están escritos con la misma base.
Recuerde que los logaritmos se definen sólo para números reales positivos. Consulta tus resultados en la ecuación original. Es posible que hayas obtenido un resultado que da un logaritmo de cero o un número negativo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resolver:\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\).
Solución:
\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\)
Utilice la Propiedad Power.
\(\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81\)
Utilice la Propiedad Uno a Uno, si\(\log _{a} M=\log _{a} N\), entonces\(M=N\).
\(x^{2}=81\)
Resuelve usando la Propiedad Raíz Cuadrada.
\(x=\pm 9\)
Eliminamos\(x=-9\) ya que no podemos tomar el logaritmo de un número negativo.
\(x=9, \cancel{x=-9}\)
Cheque. \(x=9\)
\(\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Resolver:\(2 \log _{3} x=\log _{3} 36\)
- Contestar
-
\(x=6\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Resolver:\(3 \log x=\log 64\)
- Contestar
-
\(x=4\)
Otra estrategia a utilizar para resolver ecuaciones logarítmicas es condensar sumas o diferencias en un solo logaritmo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Resolver:\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\).
Solución:
\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\)
Utilice la Propiedad del Producto,\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\).
\(\log _{3} x(x-8)=2\)
Reescribir en forma exponencial.
\(3^{2}=x(x-8)\)
Simplificar.
\(9=x^{2}-8 x\)
Restar\(9\) de cada lado.
\(0=x^{2}-8 x-9\)
Factor.
\(0=(x-9)(x+1)\)
Utilice la propiedad de producto cero
\(x-9=0, \quad x+1=0\)
Resuelve cada ecuación.
\(x=9, \quad \cancel{x=-1}\)
Cheque. \(x=-1\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}\)
No podemos tomar el registro de un número negativo.
Cheque. \(x=9\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Resolver:\(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
- Contestar
-
\(x=4\)
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Resolver:\(\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4\)
- Contestar
-
\(x=8\)
Cuando hay logaritmos en ambos lados, condensamos cada lado en un solo logaritmo. Recuerde usar la propiedad Power según sea necesario.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Resolver:\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\).
Solución:
\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\)
Use la Propiedad Cociente en el lado izquierdo y la Propiedad PowerProperty a la derecha.
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}\)
Reescribir\(x^{-1}=\frac{1}{x}\).
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}\)
Utilice la Propiedad Uno a Uno, si\(\log _{a} M=\log _{a} N\), entonces\(M=N\).
\(\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}\)
Resolver la ecuación racional.
\(x(x+6)=2 x+5\)
Distribuir.
\(x^{2}+6 x=2 x+5\)
Escribir en forma estándar.
\(x^{2}+4 x-5=0\)
Factor.
\((x+5)(x-1)=0\)
Utilice la Propiedad de Producto Cero.
\(x+5=0, \quad x-1=0\)
Resuelve cada ecuación.
\(\cancel{x=-5}, \quad x=1\)
Cheque.
Te dejamos el cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Resolver:\(\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x\).
- Contestar
-
\(x=3\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Resolver:\(\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}\).
- Contestar
-
\(x=8\)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms
Resolver\(5^{x}=11\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
Solución:
\(5^{x}=11\)
Dado que el exponencial está aislado, tomar el logaritmo de ambos lados.
\(\log 5^{x}=\log 11\)
Usa la Propiedad de Poder para obtener el\(x\) como factor, no como exponente.
\(x \log 5=\log 11\)
Resolver para\(x\). Encuentra la respuesta exacta.
\(x=\frac{\log 11}{\log 5}\)
Aproximar la respuesta.
\(x \approx 1.490\)
Desde\(5^{1}=5\) y\(5^{2}=25\), ¿tiene sentido eso\(5^{1.490}≈11\)?
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Resolver\(7^{x}=43\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- Contestar
-
\(x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933\)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Resolver\(8^{x}=98\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- Contestar
-
\(x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205\)
Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado ya sea que usemos el logaritmo común o el natural (intente usar el logaritmo natural en el último ejemplo. ¿Obtuvo el mismo resultado?) Cuando el exponencial tiene base\(e\), utilizamos el logaritmo natural.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Resolver\(3e^{x+2}=24\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
Solución:
\(3 e^{x+2}=24\)
Aísle lo exponencial dividiendo ambos lados por\(3\).
\(e^{x+2}=8\)
Toma el logaritmo natural de ambos lados.
\(\ln e^{x+2}=\ln 8\)
Usa la Propiedad de Poder para obtener el\(x\) como factor, no como exponente.
\((x+2) \ln e=\ln 8\)
Utilice la propiedad\(\ln e=1\) para simplificar.
\(x+2=\ln 8\)
Resuelve la ecuación. Encuentra la respuesta exacta.
\(x=\ln 8-2\)
Aproximar la respuesta.
\(x \approx 0.079\)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Resolver\(2e^{x−2}=18\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- Contestar
-
\(x=\ln 9+2 \approx 4.197\)
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
Resolver\(5e^{2x}=25\). Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- Contestar
-
\(x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805\)
Usar modelos exponenciales en aplicaciones
En secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que se modelaron con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos tantas opciones más para resolver estas ecuaciones, somos capaces de resolver más aplicaciones.
Volveremos a utilizar las Fórmulas de Interés Compuesto y así las enumeramos aquí como referencia.
Definición\(\PageIndex{2}\)
Interés Compuesto
Para un principal,\(P\), invertido a una tasa de interés,\(r\), durante\(t\) años, el nuevo saldo,\(A\) es:
\(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Los padres de Jermael pusieron $\(10,000\) en inversiones para sus gastos universitarios en su primer cumpleaños. Esperan que las inversiones valgan $\(50,000\) cuando se vuelva\(18\). Si el interés se agrava continuamente, aproximadamente ¿qué tasa de crecimiento necesitarán para lograr su objetivo?
Solución:
Identificar las variables en la fórmula.
\(\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}\)
Sustituir los valores en la fórmula.
\(50,000=10,000 e^{r \cdot 17}\)
Resolver para\(r\). Dividir cada lado por\(10,000\).
\(5=e^{17 r}\)
Toma el tronco natural de cada lado.
\(\ln 5=\ln e^{17 r}\)
Utilice la Propiedad Power.
\(\ln 5=17 r \ln e\)
Simplificar.
\(\ln 5=17 r\)
Dividir cada lado por\(17\).
\(\frac{\ln 5}{17}=r\)
Aproximar la respuesta.
\(r \approx 0.095\)
Convertir a un porcentaje.
\(r \approx 9.5 \%\)
Necesitan que la tasa de crecimiento sea aproximadamente\(9.5\)%.
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
Héctor invierte $\(10,000\) a la edad\(21\). Espera que las inversiones valgan $\(150,000\) cuando dé la vuelta\(50\). Si el interés se agrava continuamente, aproximadamente ¿qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?
- Contestar
-
\(r \approx 9.3 \%\)
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
Rachel invierte $\(15,000\) a la edad\(25\). Ella espera que las inversiones valgan $\(90,000\) cuando cumpla la vuelta\(40\). Si el interés se agrava continuamente, ¿qué tasa de crecimiento necesitará aproximadamente para lograr su objetivo?
- Contestar
-
\(r \approx 11.9 \%\)
Hemos visto que el crecimiento y la decadencia son modelados por funciones exponenciales. Para el crecimiento y la decadencia utilizamos la fórmula\(A=A_{0} e^{k t}\). El crecimiento exponencial tiene una tasa positiva de crecimiento o constante de crecimiento,\(k\), y la decaimiento exponencial tiene una tasa negativa de crecimiento o constante de decaimiento,\(k\).
Definición\(\PageIndex{3}\)
Crecimiento y Decaimiento Exponencial
Para una cantidad original,\(A_{0}\), que crece o decae a una tasa\(k\),, por cierto tiempo,\(t\), la cantidad final,\(A\), es:
\(A=A_{0} e^{k t}\)
Ahora podemos resolver aplicaciones que nos den suficiente información para determinar la tasa de crecimiento. Entonces podemos usar esa tasa de crecimiento para predecir otras situaciones.
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de\(100\) a\(300\) en\(3\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá\(24\) horas desde el inicio del experimento?
Solución:
Este problema requiere de dos pasos principales. Primero debemos encontrar la tasa desconocida,\(k\). Entonces usamos ese valor de\(k\) para ayudarnos a encontrar el número desconocido de bacterias.
Identificar las variables en la fórmula.
\(\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Sustituir los valores en la fórmula.
\(300=100 e^{k \cdot 3}\)
Resolver para\(k\). Dividir cada lado por\(100\).
\(3=e^{3 k}\)
Toma el tronco natural de cada lado.
\(\ln 3=\ln e^{3 k}\)
Utilice la Propiedad Power.
\(\ln 3=3 k \ln e\)
Simplificar.
\(\ln 3=3 k\)
Dividir cada lado por\(3\).
\(\frac{\ln 3}{3}=k\)
Aproximar la respuesta.
\(k \approx 0.366\)
Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir el número de bacterias que habrá en\(24\) horas.
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Sustituto en los valores.
\(A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}\)
Evaluar.
\(A \approx 656,100\)
A este ritmo de crecimiento, pueden esperar\(656,100\) bacterias.
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de\(100\) a\(500\) en\(6\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá\(24\) horas desde el inicio del experimento?
- Contestar
-
Habrá\(62,500\) bacterias.
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de\(700,000\) a\(400,000\) en\(5\) horas después de la administración de la medicación. A este ritmo de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá\(24\) horas desde el inicio del experimento?
- Contestar
-
Habrá\(5,870,061\) bacterias.
Las sustancias radiactivas se descomponen o descomponen según la fórmula de desintegración exponencial. La cantidad de tiempo que tarda la sustancia en descomponerse a la mitad de su cantidad original se denomina vida media de la sustancia.
Similar al ejemplo anterior, podemos usar la información dada para determinar la constante de decaimiento, y luego usar esa constante para responder otras preguntas.
Ejemplo\(\PageIndex{8}\)
La vida media del radio-226 es de\(1,590\) años. ¿Cuánto de una muestra de\(100\) mg quedará en\(500\) años?
Solución:
Este problema requiere de dos pasos principales. Primero debemos encontrar la constante de decaimiento\(k\). Si empezamos con\(100\) -mg, a la vida media quedarán\(50\) -mg restantes. Utilizaremos esta información para encontrar\(k\). Entonces usamos ese valor de\(k\) para ayudarnos a encontrar la cantidad de muestra que quedará en\(500\) años.
Identificar las variables en la fórmula.
\(\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Sustituir los valores en la fórmula.
\(50=100 e^{k \cdot 1590}\)
Resolver para\(k\). Dividir cada lado por\(100\).
\(0.5=e^{1590 k}\)
Toma el tronco natural de cada lado.
\(\ln 0.5=\ln e^{1590 k}\)
Utilice la Propiedad Power.
\(\ln 0.5=1590 k \ln e\)
Simplificar.
\(\ln 0.5=1590 k\)
Dividir cada lado por\(1590\).
\(\frac{\ln 0.5}{1590}=k\)respuesta exacta
Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir la cantidad que quedará en\(500\) años.
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
Sustituto en los valores.
\(A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}\)
Evaluar.
\(A \approx 80.4 \mathrm{mg}\)
En\(500\) años quedarían aproximadamente\(80.4\) mg restantes.
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
La vida media del magnesio-27 es de\(9.45\) minutos. ¿Cuánto de una muestra de\(10\) -mg quedará en\(6\) minutos?
- Contestar
-
Quedarán\(6.43\) mg.
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
La vida media del yodo radiactivo es de\(60\) días. ¿Cuánto de una muestra de\(50\) -mg quedará en\(40\) días?
- Contestar
-
Quedarán\(31.5\) mg.
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Conceptos clave
- Propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas: Para\(M>0, N>0, a>0\), y\(a≠1\) es cualquier número real:
Si\(\log _{a} M=\log _{a} N,\) entonces\(M=N\)
- Interés Compuesto:
Para un principal,\(P\), invertido a una tasa de interés,\(r\), por\(t\) años, el nuevo saldo,\(A\), es:\(\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
- Crecimiento y Decaimiento Exponencial: Para una cantidad original,\(A_{0}\) que crece o decae a un ritmo\(r\),, durante cierto tiempo\(t\), la cantidad final,\(A\), es\(A=A_{0} e^{r t}\).
